Um site com design responsivo é o que se adapta para ser exibido da melhor forma possível, nos mais diferentes dispositivos.
Se seu site for responsivo, ele poderá ser acessado por computadores, tablets, celulares e outros dispositivos, sem perder a usabilidade.

O Google dá preferência pra sites com design responsivo

Atualmente, ter um site responsivo soma pontos para que seu site seja melhor classificado (apareça antes que os outros) nos resultados de busca do Google.